摘要
地震反演方法由于采用算法的不同而被分为确定性反演与地质统计学反演。本文从贝叶斯公式出发，将确定性反演与地质统计学反演统一在贝叶斯参数估计框架下，从理论框架上分析了确定性反演和地质统计学反演的异同点，提出了一种联合使用确定性反演与地质统计学反演的方法——地震波阻抗协同反演，通过理论模型和实际资料的应用验证了本文方法的可行性和有效性，证明了所提出的方法能够提高反演的精确度与准确性。
Abstract
Seismic inversion methods are divided into deterministic inversion and geostatistical inversion due to the different algorithms used. Starting from the Bayesian formula, this article unifies deterministic inversion and statistical inversion under the Bayesian parameter estimation framework. It analyzes the similarities and differences between deterministic inversion and geostatistical inversion from a theoretical framework, and proposes a method of combining deterministic inversion and geostatistical inversion-seismic wave impedance co inversion. The feasibility and effectiveness of this method are verified through the application of theoretical models and practical data. It has been proven that the proposed method can improve the accuracy and accuracy of inversion.
0 引言
基于实测地震资料反演得到地震波阻抗，结合测井解释结果，能够直观的反映出油气储层的岩性、物性、含油气性等储层性质。因此，在储层预测中地震反演具有重要的作用和意义。地震反演中的确定性反演方法在理论研究和实际应用中已经是一种成熟和常用的方法（Parker，1977；杜本强等， 2007；邸海滨等，2011），其主要原理是利用实际观测值与初始模型的地震响应值之间的匹配关系建立目标函数，通过最优化算法求取目标函数的最优解，从而得到实际地震观测值的波阻抗结果（Cook and Schneider，1983）。确定性反演方法中常用的模型法反演是在给定的初始条件约束下，通过寻优算法直接进行模型量的修改，得到一个确定的解，且反演结果的精确性和可靠度主要依靠地震数据的频带宽度和初始模型的精确性（孙瑞莹，2015）。地质统计学反演，从井数据或其他已知信息出发，按照随机模拟理论，结合地震资料进行待反演参数，如地震波阻抗的多次随机模拟，并按统计学理论挑选出最优结果（撒利明等，2015）。理论上讲，只要依据的已知信息精确可靠，分辨率高，而且有充分的模拟和有效的挑选，统计学反演能够获得分辨率较高的反演结果，往往能够突破地震数据的分辨率。但高分辨率的已知信息，如数量多、精度高的井数据是这种方法获得好效果的至关重要的先决条件之一。而实际应用中，特别是勘探阶段有时较难满足相关要求。
因此，以上两类方法的应用条件分析、实际应用中方法选择依据以及相互结合协同方式等，引起研究者的广泛关注，也是近年来反演方法及应用研究的热点领域之一（Dario et al.，2022）。Lindsenth （1987）提出叠后波阻抗反演方法，由于地震信息与岩石物性参数之间可经由波阻抗进行对应，因此对实际储层的评价可以通过反演结果表示。Russell （1988）提出基于模型的反演方法，详细阐述了基于模型反演的原理与基本方法流程，并将此方法应用于实际资料，且取得较好效果。Haas and Dubrule （1994）最先提出基于序贯高斯模拟的地质统计学反演方法，但由于必须满足模拟数据为高斯分布，因此对于非高斯分布的数据会造成反演结果的不准确且对储层描述出现非规则化现象。Soares（2001）提出基于直接序贯模拟（DSS）的反演方法，其中DSS方法最大的特点是能够适合任何形状的分布，避免了序贯高斯算法中需要进行高斯正反变换的复杂流程。张旭东等（2019）提出基于非线性贝叶斯的储层反演方法，在油藏储层反演中取得好的效果。王华忠和盛樂（2021）指出地震波传播的波动理论和贝叶斯参数估计理论是构成“新一代高精度地震勘探”的理论基础。姚铭等（2022）提出了一种改进的贝叶斯方法，对确定性反演的初始模型约束力更强，使得反演结果一定程度得到提高。
本文在前人研究基础上，从贝叶斯公式出发，将确定性反演与统计学反演统一在贝叶斯参数估计的理论框架下，依据这个理论框架分析了确定性反演和地质统计学反演的异同点，并提出了一种新的联合使用确定性反演与地质统计学反演的地震波阻抗协同反演方法及工作流程。理论模型和实际资料的应用验证了本文方法的可行性和有效性，证明了所提出的方法能够提高反演的精确度与准确性。与基于共轭梯度的模型反演相比，该方法反演结果的精度和准确度更高；与基于序贯高斯的地质统计学反演相比，对井数量的需求更少；表明所提出的贝叶斯参数估计下的协同反演在提高反演分辨率方面具有较好的应用前景。
1 方法原理
1.1 地震波阻抗确定性反演原理简述
基于模型的确定性反演的基本原理是利用实际观测值与初始模型的地震正演响应值之间的匹配关系建立目标函数，通过最优化算法求取目标函数的最优解，从而得到实际地震观测值的波阻抗结果，数学上可以用式（1）的目标函数来表示：
(1)
式（1）中，J 表示目标函数；D 表示观测地震记录，G 表示正演算子，例如褶积算子，m 表示模型参数，在波阻抗反演中表示波阻抗值。
通常情况下是利用最优化方法求解式（1）。本文采用共轭梯度的方法进行求解，求解式（1）的极小值就等同于求解式（2）的极小值问题。
(2)
式（2）中，m 表示模型参数，在波阻抗反演中为波阻抗数据；mT 为模型参数的转置；G 表示正演算子；GT表示G的转置。
根据共轭梯度法原理，首先需要以初始模型m0 作为初始点，逐次迭代求解。并在每次计算时采用梯度的负方向作为搜索方向d0，即：
(3)
式（3）中，表示目标函数下初始模型梯度的转置；m0表示初始模型值。
经过第 n 次迭代，满足匹配标准的新模型即为反演的解，如式（4）：
(4)
式（4）中，mn表示第 n次迭代产生的新模型，n= 0，1，2，···，n。
根据以上公式的推导可以看出，确定性反演，在给出一组初始数据情况下，产生的结果总是确定或唯一的。
1.2 统计学反演原理简述
统计学反演的基本原理可以概述为，从已知信息出发，以变差函数描述待模拟参数的空间关系，通过随机模拟得到模拟值的等概率统计学分布函数，对分布函数进行多次采样，挑选出符合约束条件的模拟参数作为最后的解（樊鹏军等，2017；高扬，2018）。如在地震波阻抗反演时，利用已知的测井波阻抗值作为起始值，利用大量的随机模拟产生多个空间的波阻抗值，再利用实测地震资料与这些模拟出的波阻抗的合成地震记录的匹配关系及空间变化规律为约束，挑选出最优的解作为反演波阻抗。因此，统计学反演主要分为随机模拟和随机挑选两部分（邹晓峰，2016；贺东阳等，2021）
本文采用的高斯序贯统计学反演，在随机模拟部分，主要利用已知井信息进行变差分析得到相应的变差函数，并用式（5）和（6）计算得到待模拟点的模拟值：
(5)
式（5）中，Z（ x0）* 表示待估点x0处的均值；表示模拟数据在条件数据 xi的均值；λi表示数据在条件数据xi处的权重值； 表示模拟数据在x0处的均值；n表示已知点加拟模拟点的个数。
(6)
式（6）中，表示待估点处方差；表示模拟数据在待估点x0处协方差；表示为模拟数据在待估计点x0与条件数据xj处的协方差。
在波阻抗反演中，待模拟点的模拟参数满足的分布函数 Z（ x），就是波阻抗值，待模拟点处的条件概率分布函数可表示为：
(7)
式（7）中，Z（ x）表示高斯分布函数，即波阻抗的分布函数；x表示模拟点位置坐标；σ2表示待估点波阻抗的方差；mav表示待估点处均值，代表待模拟点处波阻抗的均值。
对于波阻抗反演来说，随机挑选是在具有地震记录的情况下进行的，当没有地震数据时，仅可做随机模拟；当存在地震数据时，随机挑选可用式（8） 表示：
(8)
式（8）中，p代表接收概率；J （m1）代表新模型的目标函数；J（m0）代表当前模型的目标函数。T代表可调节因子；而在实际波阻抗反演时，J 可用式（1） 表示，即求解模型参数产生的地震记录与实际地震记录的匹配程度。
根据以上确定性反演和统计学反演原理公式的推导可以看到，在确定性反演中，由于地震数据的约束，因此确定性反演的分辨率受限于地震资料的频带宽度。而在统计学反演中，假设最优解是存在于多次“随机模拟”的结果中，但是否能挑选出突破地震分辨率的“全局最优”并不能确定，这同时取决于已知信息的数量和精确度，如需要大量的已知井和高精度的井数据。
1.3 贝叶斯框架下的地震反演
贝叶斯参数估计方法是以 18 世纪概率论先驱 Thomas Bayes 的名字命名的。在贝叶斯方法中，待估计的模型参数是一个随机变量，解是模型参数的概率分布。一旦有了这个概率分布，就可以用它来回答关于模型的概率问题，并通过挑选得到最后满足条件的解。
贝叶斯定理可用下式表示：
(9)
式（9）中，p（ m |d）表示后验概率密度函数； L（ d |m）表示似然函数，p（ m）表示已知信息的概率，称为先验信息，如测井信息。在地震波阻抗反演中，p（ m |d）表示在给定地震数据 d的情况下波阻抗模型m的概率；L（ d |m）表示波阻抗模型产生的合成地震记录与观测地震记录之间的匹配程度；在大多数情况下并不需要求解常数 c（Duijndam，1988； Figueiredo et al.，2019；Grana and Figueiredo，2021）。
1.4 贝叶斯框架下的统一公式
根据以上公式，可以推导得出如果先验信息在满足某种统计分布规律，如高斯分布时，贝叶斯框架下的地震反演都可统一表述为式（10）的形式，本文称之为贝叶斯框架下的地震反演统一公式：
(10)
式（10）中，H（D，G（m））为模型参数的正演模拟值与观测数据的映射关系；H表示目标函数；D表示地震记录；G（m）表示褶积算子；m表示波阻抗模型； C（mprior，m）表示模型参数模拟结果与先验模型的模型参数模拟结果的吻合程度；argmin 为数学符号，表示使函数取到最小值的函数表达式。
当已知信息只存在地震数据时，则式（10）右侧仅含第一项，可简化为：
(11)
式（11）中 H（D，G（m））为模型参数的地震响应与观测地震数据的映射关系，可用下式表示：
(12)
式（12）与主要利用地震数据的确定性反演式 （1）一致，因此式（11）可看作为主要利用地震数据时的确定性反演。
当已知信息只含有测井数据时，式（10）右侧只含有第二项，即C（mprior，m），则式（10）可表示为：
(13)
式（13）中 C（mprior，m）模拟结果与先验模型的吻合程度，可用下式表示：
(14)
式（14）中，符号的意义见前文。
式（14）表示为随机模拟下的波阻抗与初始模型的匹配关系，即只进行依据测井数据等已知信息进行模拟时，式（14）可表示为随机模拟目标函数。例如，m可由序贯高斯模拟算法随机模拟公式得到。
当反演需要既利用地震数据又利用测井数据时，联解式（12）与式（14）可得下式：
(15)
式（15）为达了确定性反演与随机反演结合时的目标函数。
对上式分析可以得出，若已知数据中只包含有观测地震数据D，而不存在的先验信息或井数据时，那么后验概率密度函数的第二项将不存在，于是，解函数退化成确定性反演的最小二乘反演问题；当已知数据仅含有测井等先验信息，而不存在地震数据时，则上述问题则退化成了纯粹的随机模拟问题。
1.5 地震波阻抗协同反演
基于以上理论框架分析以及一些模拟结果的分析，本文提出了一种新的联合使用确定性反演与地质统计学反演的地震波阻抗协同反演方法及工作流程。
“协同反演”方法，其基本思路为：利用序贯高斯地质统计学反演进行 N 次模拟，并从 N 次模拟中随机选出 M个波阻抗模拟结果；然后将挑选出来的 M 个结果作为模型法反演的初始模型，并通过井数据和地震记录构建的低频模型以及地震记录的共同约束下进行 M次基于模型的确定性反演，得到反演结果；然后计算多次反演结果的后验概率，通过贝叶斯方法优选出每次反演中相较于其他次反演最好的单道结果，最后将逐道最优结果合成为整个剖面的解，作为反演的最终解。
所提出的方法中，提供给模型反演的初始模型是利用贝叶斯框架下的序贯高斯地质统计学反演生成的，进行 N次模拟得到。在本文的理论模型和实际计算中，选N = 100，M = 10。
(16)
将式（16）带入式（15）中有：
图1地震波阻抗协同反演方法流程图
(17)
式（17）中，表示序贯高斯地质统计学反演挑选M次数产生的波阻抗模型；ml表示由井数据插值产生的低频模型；λ为权系数，用于调节直接模拟结果在反演结果在反演目标函数中的比重，取值范围0~1。
利用式（17），由最优化算法进行求解得：
(18)
式（18）中，∆m表示共轭梯度求解的确定反演的方式模型的修改量。
所提出的“基于序贯高斯地质统计学反演协同的共轭梯度反演”的方法和流程，如图1所示。
2 模型与实际资料算例
2.1 理论模型验证
基于 Marmousi公开数据模型进行确定性反演、统计学反演和协同反演的理论模型验证。通过理论模型试验，分析确定性反演、统计学反演及协同反演方法的适应性，并主要分析不同井数量对于各类方法反演结果的影响。
具体试验时是从 Marmousi 模型中选取一个包含较多断层以及薄层的区域进行验证（图2）。其中该区域模型数据（图2a的黑框部分）一共包含 400 道，每道包含700个采样点，采样间隔设为1 ms。
图2Marmousi模型和所选区域模型及地震记录示意图
a—Marmousi模型波阻抗剖面；b—地震记录；c—所选区域模型的波阻抗剖面；d—模型地震记录
本研究通过对比确定性反演、统计学反演及协同反演方法在波阻抗反演中的应用效果，获得以下结果：如图3所示的不同反演方法的反演结果，图3a为通过波阻抗模型抽取的 10 口“伪井”（已知信息） 的井位分布；图3b为 10 口伪井约束下共轭梯度确定性反演结果；图3c为10口伪井下高斯序贯模拟统计学反演结果；图3d为协同反演结果；图3e为协同反演的波阻抗产生的合成地震记录；图3f为协同反演结果与Marmousi模型真实值的误差剖面。
从图3可以看到，确定性反演效果要优于序贯高斯反演的结果；协同反演结果好于序贯高斯反演结果。其整体剖面相较于序贯高斯反演而言，结果更平滑，且对于层位的识别相对更精准。而从序贯高斯反演的剖面可以看出其结果横向分辨率不高，主要是因为序贯高斯反演主要依靠于变差函数，而横向上地震数据在挑选过程中没起到大的约束作用，同时因为井数量的限制，可能导致很难挑选出全局的最优解。
图310口伪井约束下的多种方法波阻抗反演结果对比图
a—伪井分布情况；b—确定性反演结果；c—统计学反演结果；d—协同反演结果；e—协同反演地震记录剖面；f—协同反演误差剖面
为了进一步分析井数量对3种方法反演结果的影响，还进行了 20 口伪井下的反演效果与 10 口井的反演结果对比。图4给出了部分典型单道的对比结果，展示了 10 口伪井约束下的协同反演结果（红色曲线）、20 口伪井约束下的基于模型反演和序贯高斯反演结果与真实值的对比结果。
从图4可以看到，相较于 10口井下的协同反演方法，序贯高斯反演和模型反演的精度与分辨率都相对较差，协同反演方法与真实波阻抗的吻合度更高，波阻抗在层间的波动幅度较小。据抽道统计分析，协同反演平均相对误差小于2%，确定性反演平均相对误差在2%~5%，而统计学反演平均相对误差大于5%。该试验表明，在取得相同效果条件下，协同反演需要的井数少于单纯的统计学反演和模型反演。
图410口井下协同反演方法与20口井下基于模型的反演与序贯高斯反演单道对比图
a—第34道；b—第155道；c—第306道
图5研究区示意图
上述结果说明，本文提出的协同反演方法可以在较少井的情况取得比单独使用两类方法在即使井信息较多情况下的反演效果更好。
2.2 实际资料应用效果分析
为了验证本文提出方法的实用性，将以上 3 种方法应用到同一实际工区。采用的实际资料为新疆阜康凹陷阜东 5 工区 1 条过井剖面，如图5所示，为过阜东 5 与阜东 10 的 1 条二维连井剖面（绿色线段）。反演拟解决的地质问题是反映阜东 5 与阜东 10 的连井线上河道储层分布情况。本研究目的层为中侏罗统头屯河组二段（J2t 2）与头屯河组三段 （J2t 3）之间的河道砂岩储层。
图6为本研究的连井地震剖面，根据目的层段 J2t 2、J2t 3 的地质解释结果，选用一部分叠后数据进行反演，此部分数据共 320 道，时间长度为 0.5 s，采样间隔2 ms。
具体反演时，对于确定反演而言，低频初始模型为在层位解释基础上利用阜东 5 与阜东 10 的波阻抗插值得到（图7）。
图6研究区连井剖面
图7初始波阻抗模型
将以上3种方法应用到同一实际工区的地震资料上，得到图8所示的地震反演结果，图8a、b、c分别为统计学反演波阻抗剖面、确定性反演波阻抗剖面、协同反演波阻抗剖面。
图83种方法的反演波阻抗结果对比图
a—序贯高斯统计学反演波阻抗剖面；b—共轭梯度确定性反演波阻抗剖面；c—协同反演波阻抗剖面
本研究通过对比不同反演方法在低井控条件下的应用效果（图8），揭示了协同反演方法在复杂地质体识别中的优势。图8a中高斯序贯统计学反演因有效井数少且集中分布于剖面边缘，对地震剖面的代表性较差，因此反演结果较差，基本不能反映河道砂体分布；图8b的确定性反演虽能反映低波阻抗河道砂体的宏观展布特征，但其反演分辨率较低，河道砂体的展布形态不清晰；而本文提出的协同反演方法（图8c），反演效果最好，分辨率高于确定性反演，反演波阻抗剖面“同相轴”更多，有利于准确识别砂体信息，包括细小的河道砂体的分布变化（黑色圈内）。
通过研究区内已钻井的测井波阻抗与 Vp/Vs交会图（图9），可以看出，油层及有利储层的波阻抗值范围在 8500单位值以下，与图8的反演结果具有较好的一致性。
图9阜东5井区侏罗系头屯河组测井波阻抗与Vp/Vs交会图
因此说明，本文提出的方法能够提高反演的精度和可靠性，从而在油气储层预测中具有很好的应用前景。
3 结论
通过理论分析和方法研究以及模型和实际资料验证，本文提出了一种联合使用确定性反演和统计学反演的新的方法及流程，并得出以下结论和认识：
（1）确定性反演和统计学反演方法可以统一在贝叶斯参数估计框架下，而且结合了两类方法特点的协同反演应该作为今后反演方法选择和应用的方向之一。
（2）已知信息，特别是井的数量和质量，对于确定性反演和统计学反演的效果有至关重要的影响，在实际资料应用中应该结合具体情况进行方法选择及应用。
（3）本文虽然没有就井数对反演方法的反演效果影响得到定量化的结论，实际资料应用效果显示：前期勘探阶段可选择确定性反演，在开发期井数较多时选择地震统计学反演，当在井数不多的情况下选择协同反演的方法，可以作为方法选择的一种策略。
